12

Matematika: Adi Rio Arianto, Prof UI, ITB & Lapan soal 4×6

Polemik soal Matematika yang dialami oleh Habibi, murid kelas 2 SD di Jawa Tengah mendapat sorotan dari berbagai kalangan. Setelah tulisan pertama saya yang menyoroti polemik ini muncul, lalu diikuti oleh sorotan yang datang dari Profesor Yohanes Surya Dosen Fisika UI, Profesor Iwan Pranoto Dosen Matematika ITB, dan Profesor Astrofisika dari Lembaga Penerbangan dan Antariksa Nasional (LAPAN), Thomas Djamaluddin. Datang juga dari Tokoh Matematika Nasional, Ridwan Hasan Saputra. Adapun mewakili pandangan saya selanjutnya, Anda dapat membaca tulisan saya yang terbit pada Senin, 22 September 2014 12:36 di sejumlah Media Online Nasional di antaranya di situs Merdeka, Halaman Yahoo Indonesia, Portal Kaskus Indonesia, dan Media Islam Indonesia juga di Warta Ekonomi Nasional. Sejak awal isu ini mencuak, tulisan saya mendapat banyak komentar dari pembacanya, terutama di Yahoo Indonesia dan Media Merdeka. Tulisan saya yang pertama ada di sini.

Polemik ini muncul ketika Habibie mendapat nilai 20 dari 10 soal Matematika yang dikerjakan karena jawabannya tidak sesuai dengan metode (cara berpikir) pendidik tempat ia bersekolah. Sebagai pembanding, maka berikut logika masing-masing yang digunakan oleh para profesor di atas. Saya pun memberikan pandangan saya terkait polemik ini.

Sebagai Pemerhati Matematika, saya merasa prihatin dengan alur pikir pendidik yang coba ditanamkan untuk anak seusia Habibi. Saya menghimbau para pendidik agar dalam proses mengajar tetap memperhatikan kapasitas anak yang mereka didik. Siswa seusia Habibi seyogyanya tidak hanya diajari sebatas konsep dasar operasi Matematika berupa penjumlahan (+), pengurangan (-), pembagian (:), dan perkalian (x), tetapi juga beserta proses dan sifat-sifat dari operasi Matematika itu sendiri. Kalaupun itu terlalu tinggi untuk diajarkan pada siswa seusia Habibi, semestinya gurunya tidak mempersalahkan cara mejawab siswa tersebut. Mengapa?

Dalam ilmu Matematika, untuk operasi perkalian memiliki 3 sifat dasar: sifat komutatif (peletakan), distributif (persebaran), dan asosiatif (penggabungan). Saya melihat, kemungkinan besar sifat-sifat ini belum diajarkan di tempat Habibi sekolah, atau sebaliknya pendidik-nya yang luput untuk menelaah kembali. Tidak terbatas di situ, pendidik juga harus bisa membedakan mana ruang lingkup soal Matematika Murni dan Matematika Terapan. Dengan memahami sifat-sifat dasar dan ruang lingkup tersebut, kemungkinan besar peristiwa di atas tidak akan terjadi. Lantas, apa yang dimaksud dengan matematika murni dan terapan.

Matematika Murni adalah Matematika yang digunakan untuk tujuan pengembangan bidang Matematika itu sendiri, sedangkan Matematika Terapan adalah Matematika yang telah mengalami formasi untuk tujuan manfaat di bidang ilmu lainnya seperti ilmu Kesehatan, Ilmu Kimia, Ilmu Astronomi, Fisika, Teknik, dan hal-hal eksak lainnya.

Pada dasarnya,

Matematika murni mengajarkan ke-netral-an yang tidak terikat oleh jenis kelamin, warna, dan tidak terasosiasi oleh pemisalan (analogi), fokus pada ketelitian dan berdiri di atas logika benar salah dari operasi Matematika itu sendiri. Dalam hal ini, tidak masalah komutasi-nya (peletakannya) berbeda, asal tujuannya benar.

Aksioma ini nampak seolah-olah ilmu Matematika murni itu monoton dan tidak berguna, padahal jika dilibatkan ke dalam bidang ilmu lainnya hasilnya tentu bermanfaat.

Pada akhirnya, muncullah Matematika Terapan yang mengajarkan imajinasi, abstraksi, dan keindahan. Matematika terapan menuntut penyesuaian antara operasi yang di-analogi-kan/di-tuju-kan dikaitkan dengan maksud yang ingin dicapai. 

Karena ruang lingkup inilah Ilmu Matematika itu bervariasi dan membawa manfaat yang berbeda bagi penggunanya di dunia terapan.

Polemik Matematika, Adi Rio Arianto vs. Sifat Komutatif MatematikaInilah soal Matematika yang dikerjakan oleh Habibi dari 10 nomor Habibi hanya mendapat nilai 20. Lengkapnya bisa dicek di sini. Adapaun cara berpikir yang disampaikan oleh Profesor Yohanes Surya, Dosen Fisika UI berpijak pada Matematika Terapan sebab telah memasukkan unsur “analogi” dengan mencontohkan 4+4 sebagai dua kotak yang berisi empat buah jeruk. Pemikiran beliau bisa dicek di sini.

Yohanes mengungkapkan, caranya bisa dengan menganggap bahwa perkalian adalah penjumlahan berulang. Dengan demikian, untuk mengetahui jumlah jeruk, dalam Matematika bisa dikatakan 4+4, bisa juga dikatakan 2×4. Dari situ, bila diminta mengekspresikan 4+4+4+4+4+4 dalam perkalian, maka jawabannya adalah 6×4. Itu bukan soal benar salah, melainkan kesepakatan dalam mengekspresikan penjumlahan berulang dalam perkalian. Di sini,  Prof Yohanes tidak menjelaskan apakah 4×6 atau 6×4, sebab beliau menggarisbawahi bahwa penulisannya tergantung pada kesepakatan. Dalam Ilmu Matematika sebenarnnya yang dimaksud oleh Prof Yohanes adalah merujuk pada sifak komutatif Matematika seperti penjelasan saya di atas.

Adapun cara berpikir Prof Iwan Pranoto, Dosen Matematika ITB berpijak pada Matematika Murni sebab beliau menganggap bahwa 4×6 dan 6×4 sebenarnya sama saja. Pandangan lengkap beliau cek di sini.

Beliau berpendapat bawah jawaban 4+4+4+4+4+4 = 4×6 tidak bisa serta-merta disalahkan. Di sini Prof Iwan telah menjelaskan bahwa 4×6 dan 6×4 sama saja. Namun, sekali lagi beliau tidak menegaskan dari mana ketentuan itu berdasar. Padahal dalam pandangan saya, salah satu sifat yang ada dalam Ilmu matematika sebenarnnya yang dimaksud oleh Prof Iwan adalah juga merujuk pada sifat komutatif Matematika. Dalam hal ini, juga sama dengan penjelasan saya di atas.

Pendapat ketiga datang dari Profesor Astrofisika dari Lembaga Penerbangan dan Antariksa Nasional (Lapan), Thomas DjamaluddinPandangan lengkap beliau cek di sini.

Profesor Thomas mengatakan, antara 4 x 6 dan 6 x 4 berbeda. Thomas menerangkan perbedaan 6 x 4 dengan 4 x 6 lewat sebuah soal cerita. beikut: “Ahmad dan Ali harus memindahkan bata yang jumlahnya sama, 24. Karena Ahmad lebih kuat, ia membawa 6 bata sebanyak 4 kali, secara matematis ditulis 4 x 6. Tetapi, Ali yang badannya lebih kecil, hanya mampu membawa 4 bata sebanyak 6 kali, model matematisnya 6 x 4. Jadi, 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 6 x 4, berbeda konsepnya dengan 6 + 6 + 6 + 6 = 4 x 6, walau hasilnya sama 24.” Ia pun memberikan contoh seperti gambar di bawah ini pada (b) sebelah kanan. Sebagai pembandingnya, saya membuat sebuah pola yang berbeda dengan posisi 4×6 dan 6×4 yang berkebalikan sebagai berikut:

Polemik Matematika, Adi Rio Arianto vs. Thomas Djamaluddin

Dari gambar di atas, saya tentu membenarkan pola di atas keduanya berbeda. Namun, pertanyaannya: pola yang mana yang sebenarnya mewakili operasi 4×6 dan 6×4. Apakah yang gambar (b) seperti yang Profesor Thomas gambarkan. Atau bisa saja seperti gambar (a) seperti yang sudah saya gambarkan di atas. Dalam matematika, tidak ada yang bisa menentukan pola yang mana yang bisa mewakili 4×6 adan 6×4. Pandangan saya jelas berdasar pada hukum-hukum Matematika yang berlaku, yaitu sifat komutatif perkalian. Sehingga pola yang diberikan oleh Profesor Thomas juga masih relatif untuk diperdebatkan.

Lewat kasus ini juga, Prof Thomas menegaskan bahwa Matematika mesti dipahami dengan “logika”, bukan secara “kalkulator” yang sekadar tahu hasil. Saya menentang pendapat ini. Matematika itu sudah jelas adalah sebuah operasi yang eksak alias “kalkulator”. jadi, tidak ada yang salah dengan anggapan bahwa Matematika itu adalah Kalkulator. Mungkin yang beliau maksud adalah generasi “kalkulator”, bukan operasi Matematikanya. Dalam pandangan saya, jelas contoh di atas adalah masuk dalam kategori Matematika Terapan karena telah membuat sebuah analogi berupa proses “memindahkan bata”. Padahal, dalam soal yang dikerjaka oleh Habibi jelas bukan Matematika Terapan yang membutuhkan analogi, melainkan hanyalah Matematika Terapan yang tidak membutuhkan jenis kelamin maupun analogi. Jadi wajar saja jika beliau memperoleh kesimpulan seperti di atas. 

Pada akhirnya, saya mencoba menjelaskan dan mengkaitkan beberapa pandangan di atas dengan ruang lingkup Matematika yang sekaligus menjelaskan polemik soal Matematika yang dikerjakan oleh Habibi?

Dengan berdasar pada pengetahuan dari Matematika Murni atau Terapan serta sifat komutatif pada operasi perkalian, maka soal yang dikerjakan oleh Habibi termasuk dalam Matematika Murni. Soal tersebut hanya berkutat pada pengembangan bidang Matematika itu sendiri yang hanya melibatkan dua operasi dasar: tambah (+) dan kali (x). Sedangkan, untuk menjelaskan operasi perkaliannya, soal tersebut masuk dalam kategori komutatif (peletakan), satu sifat utama dari perkalian yang hasilnya tidak bergantung pada peletakan faktor yang berulang.

Dengan berpedoman pada sifat komutatif, maka soal Matematika yang dikerjakan oleh Habibi memiliki alur pikir yang sudah benar dan bahkan cukup lebih jenius, sebab mampu berpikir di luar imajinasi gurunya. Jawaban gurunyapun juga benar karena sifat komutatif inilah, penempatan angka 4 dan 6 bisa dibolak-balik menjadi 4×6 dan/atau 6×4. Keduanya benar.

Dari kesemuanya, satu hal yang perlu dicermati bahwa soal di atas tidaklah menuntut pemisalan seperti diberi warna, diandaikan sebagai bangun ruang atau matriks, dianalogikan sebagai panjang dan lebar. Sebab jika dianalogikan itu akan melanggar prinsip Komutatif Matematika itu sendiri karena mencoba membatasi komutasi-nya. 

Ambil contoh:

Misalkan 4 diasosiasikan dengan 4 buku, dan 6 diasosiakan dengan 6 buku. Jika soal di atas coba dianalogikan dengan buku, dll, maka jelas salah satu dari jawaban di atas mestilah keliru. Jadi sepanjang soal di atas netral, tidak dianalogikan oleh sesuatu apapun, hanya berkutat pada dua operasi di atas, maka jawabanya tetaplah 24. Inilah salah satu prinsip Komutatif dalam ilmu Matematika dan disitulah letak keunikannya.

Pengalaman Olimpiade Matematika beberapa tahun silam pada akhirnya telah mengajarkan banyak hal tentang Matematika.  Sepanjang masa, Matematika tetaplah eksak dan pasti. Matematika itu adalah seni berimajinasi. Matematika juga memiliki kesan yang berbeda-beda. Kesan itu bergantung dan mengikuti tujuannya. Itu sebanya lahirlah Olimpiade Matematika sebagai solusi untuk berimajinasi sebanyak-banyaknya, dalam hal ini operasi yang melibatkan Matematika Murni dan Terapan.

Note: Saya menulis ini dalam posisi sebagai Matematikawan/Pemerhati Ilmu Matematika menanggapi polemik PR Matematika Anak Kelas 2 SD
Kampus UGM, Yogyakarta, 24 September 2014 @07.30 WIB.
Adi Rio Arianto
Profil | Kepakaran | Seminar | Foto | Kontak | Hakcipta | Situs ini dilindungi oleh UU Informasi dan Transaksi Elektronik No. 11 Tahun 2008, Republik Indonesia

Hakcipta 2008-2018 © Adi Rio Arianto. "Mazhab Horizontalisme Politik — Strategi. Pertahanan. Keamanan."